概率的定义
概率有古典定义、几何定义、频率定义（统计定义）和公理化定义（柯尔莫戈洛夫公理）共四种定义。（算上茆书后面提到的主观定义，那就一共有 5 种定义）
其中古典定义、几何定义和频率定义（统计定义）都满足概率的公理化定义？
具体介绍可参见该博文 概率的四种定义及公理化定义产生
区别古典概率与古典统计学派：
- 古典概率的定义基于等可能性假设，主要用于有限离散样本空间。
- 古典统计学派（频率学派），区别于贝叶斯学派，通过大量独立实验将概率解释为统计均值（大数定律）。古典统计学派（频率学派）使用的像是概率的频率定义（统计定义），而不是古典定义，不要搞混了！
贝特朗悖论等概率悖论推动了概率公理化定义的出现（在此之前概率并未得到严谨定义，从而造成了许多悖论）。概率的公理化定义 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 约束了样本空间 $\Omega$, 测度空间 $\mathscr{F}$, 和定义在 $\mathscr{F}$ 上满足非负性、正则性和可列可加性的概率测度（或称实值函数） $P$ .
那么贝塔朗悖论对应的问题应该如何来解决呢？计算机随机模拟是一种办法（在圆上任意选择两个不同的点连成弦，测量弦长，模拟个十万八千次即可用频率逼近概率）。
其中测度空间 $\mathscr{F}$ 是样本空间 $\Omega$ 的子集族，通常可以取 $2^{\Omega}$. (空集+单元素集+……全集)
例如：投掷一枚硬币的实验在概率公理化定义下可以描述如下：$H$ 表示正面，$T$ 表示反面。
- 样本空间：$\Omega = {H, T}$。
- 事件空间：$\mathscr{F} = {\varnothing, {H}, {T}, {H, T}}$。
- 概率测度：对于所有 $A \in \mathscr{F}$，定义： $P(\varnothing) = 0, \quad P(H) = \frac{1}{2}, \quad P(T) = \frac{1}{2}, \quad P({H, T}) = 1$
关于概率 & 测度
- 有限或无限可列个概率为 0 的事件的并仍然是 0。
- 无限不可列个概率为 0 的事件的并可以有正概率。
概率 0 ≠ 绝对不可能发生，只是测度为 0(人家只是零测集，不是不可能事件)；但 P (不可能事件)=0
同样，概率 1≠必然事件，一定发生，只是测度为 1. 但 P (必然事件)=1
Lebesgue 测度告诉我们，整个区间的测度是 1，而单个点的测度是 0。
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