随机事件层面的独立
在概率论里，“独立"并不意味着两个事件没有任何关系。 独立意味着一个事件的发生与否都不改变另一个事件发生的概率。 - 知乎文章
数学定义见下：
两个随机事件间的独立性定义： $P(AB)=P(A)P(B)$，即 $P(A|B)=P(A)$ 。不独立，又称相依。
多个随机事件间的独立性定义：设有 N 个事件 $A_1, A_2, …, A_N$ 对任意的 $1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ N$ 如下式成立：为什么不使用 $i, j, k \in [1, N]$ ？避免重复吗？
$$ \begin{aligned} P(A_i A_j) &= P(A_i) P(A_j) \quad \text{两两独立} \\ P(A_i A_j A_k) &= P(A_i) P(A_j) P(A_k) \quad \text{三三独立} \\ &\quad \vdots \\ P(A_i A_j \cdots A_N) &= P(A_i) P(A_j) \cdots P(A_N) \quad \text{NN独立} \end{aligned} $$ 则称 N 个事件 $A_1, A_2, …, A_N$ 相互独立。
多个事件间相互独立 <=> 多个事件间两两独立、三三独立、……、NN 独立
概率为 0 的事件与任何事件都独立。
将相互独立事件中的任一部分转换为对立事件，所得诸事件依然是相互独立的。
如若事件 A 与事件 B 独立，则 $A$ 与 $\bar{B}$, $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$, $\bar{A}$ 与 $B$ 均独立。
多个随机事件情形同样满足
随机试验层面的独立
独立性与相容性
相容性定义：如果 A 与 B 没有相同的样本点，则称 A 与 B 互不相容。即 A 与 B 不可能同时发生。
在事件概率不为 0 的前提下讨论独立性与相容性的关系：
- 独立 => 相容：$P(AB)=P(A)P(B)≠0$ 说明 A 与 B 之间有交集，两者可能同时发生；但反之则不成立：相容事件不一定独立，例如掷一枚骰子，A: 点数<4 , B: 点数>3，AB 有交集，两者可能同时发生，相容，但不独立。
- 逆否命题：互不相容 => 相依（不独立），互不相容 => $P(AB)=0≠P(A)P(B)$ 说明 A 与 B 不独立。反之同样不成立：相依事件可能相容，例如掷两枚骰子，A：第一次为 6，B：总和大于 8，AB 两事件既相容又相依。
独立性：概率层面，反映前后实验结果是否相互影响； 相容性：事件层面，反映不同事件能否同时发生。
可以说，两者其实是不同维度的概念。
独立性与相关性
不相关是指两个变量的相关系数为0，$E(XY)=E(X)E(Y)$，两个变量之间没有线性关系。
相关与否，仅是线性层面的。而独立与否，不仅包括线性层面，还包括非线性层面。
于是可以说：独立的要求，比不相关，要更加严格。
- 独立 => 不相关，反之不成立，事件间不相关（无线性关系）≠> 事件间独立（可能存在非线性关系）
- 逆否命题：相关 => 相依，反之同样不成立，相依（不独立，说明事件间有关系）≠> 相关（因为可能不是线性关系，而是非线性关系）
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